Quadratrice di Dinostrato

Diconsi quadratrici quelle curve trascendenti che permettono la quadratura del cerchio o la rettificazione della circonferenza. Il problema della quadratura del cerchio è antichissimo ed essendo impossibile risolverlo con il solo ausilio della riga e del compasso, il problema divenne addirittura proverbiale per le cose impossibili. Dante stesso nell'ultimo canto del Paradiso alla conclusione scrive (versi 133 e seg.): " Qual'è 'l geometra che tutto s'affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli indige, tal era io...." 

L'invenzione di questa curva è attribuita da Proclo a Ippia di Elea (seconda metà del V° secolo a.C.).
Per ottenerla, si faccia traslare in modo uniforme il segmento AB fino a farlo coincidere con DC: e nello stesso tempo si faccia ruotare uniformemente il segmento DA fino a farlo coincidere con DC. Il luogo dei punti di intersezione dei due segmenti durante il loro movimento simultaneo è la curva di Ippia, il quale (a quanto riferisce Pappo) la utilizzò per trisecare un angolo acuto (problema non risolubile con riga e compasso).
La trisettrice di Ippia serve anche per ottenere la quadratura del cerchio, cioè per costruire il lato di un quadrato che abbia area uguale a un cerchio assegnato. È ancora Pappo che attribuisce a Dinostrato (350 a.C. circa) la scoperta di questa proprietà, e ne fornisce dimostrazione.

Dimostrazione

Dinostrato dimostra invece (Fig.1) che il segmento AD è medio proporzionale tra l'arco AC e il segmento DT: è così possibile ottenere un segmento rettilineo lungo come l'arco AC (pari a 1/4 di circonferenza). Dopo di che è facile, con semplici costruzioni geometriche, arrivare a un quadrato di area uguale al cerchio di raggio AB. Riportiamo qui di seguito la dimostrazione per assurdo fornita da Pappo (che non sarebbe accettabile secondo i criteri attuali di rigore, ma che comunque è una grande intuizione).Tesi: (*). Supponiamo che invece della (*) valga la proporzione , con DK>DT (**). Si descriva la circonferenza di centro D e raggio DK; sia H il suo punto di intersezione con la quadratrice; si conduca da H la perpendicolare HS, si prolunghi infine DH fino ad incontrare in E la circonferenza AEC. 
Ora per la ipotesi (**) si ha (perchè due circonferenze stanno fra loro come i diametri). Quindi (***). Ma per una proprietà della quadratrice (che discende immediatamente dalla sua costruzione): , quindi . Ma dalla (***) segue allora (assurdo). Analogamente si dimostra che la ipotesi (**) conduce all'assurdo nel caso DK<DT. A questo punto la rettificazione dell'arco AC si riduce a trovare il quarto proporzionale della (*).
Dalla  similitudine dei triangoli si ha che LD è la lunghezza di un quarto di circonferenza, DS la lunghezza della circonferenza e SDC è il triangolo equivalente al cerchio. Infatti Posto DC=a dalla (*) si ha 

 

Poiché AD:DT=SD:DX , sostituendo 

e dunque 

 

Riferimenti Bibliografici

Home