Il numero e
Consideriamo la successione
(1) 
che presenta un limite della forma indeterminata 
. Dobbiamo dimostrare che
Proviamo innanzitutto che la (1) è sempre crescente, cioè che risulta
(2) 
.
| Infatti applicando la formula di Newton |  |
, si ha |
e quindi
(3) 
| Per trovare lo sviluppo di |  |
basta porre n+1 al posto di n nella (3) |
(4) 
Dal confronto delle (3) e (4) si dimostra la (2). Infatti:
1) Le somme hanno entrambe 2 come primo termine gli altri termini tutti positivi
2) Ogni termine della somma della (4) ,eccetto il primo, è maggiore del termine di egual posto della (3)
3) La (4) ha un termine in più della (3)
Dimostriamo adesso che la (1) è limitata.
È limitata inferiormente poiché, per quanto visto sopra , il primo elemento della (1) è minimo per la (1) stessa.
Per dimostrare che è limitata superiormente faremo vedere che esiste una successione maggiorante della (1) limitata.
Osservando che per ogni naturale k>2 risulta 
, essendo 
,
, ne consegue, tenendo conto che i numeri entro parentesi
tonda al secondo membro della (3) sono tutti minori di 1, e ricordando
che la somma degli n termini di una
| progressione geometrica di ragione q è |  |
e quindi 
essendo la (1) sempre
crescente.
Pertanto la (1), essendo sempre crescente e limitata , sarà convergente e poiché abbiamo dimostrato che
si avrà, per il teorema del confronto,
.
Una rappresentazione grafica rende l’idea di come la successione (1) rimanga “imbrigliata” fra le due successioni al crescere di n.
Unità didattica per la 5ª classe del liceo scientifico
Base di conoscenza:
- Formula di Newton
- Somma dei termini di una progressione geometrica
- Concetto di successione
- Convergenza di una successione
- Teorema del confronto