Il numero p

Consideriamo una circonferenza di raggio R. Siano ed rispettivamente il lato di un poligono regolare inscritto di n lati ed il lato di un poligono regolare circoscritto di n lati. Siano ed uno degli n triangoli in cui resta suddiviso il poligono se si congiunge il centro O con i suoi vertici . Sia il diametro perpendicolare ad .

Considerato che l’angolo ne segue che l’angolo e quindi la corda

è il lato di un poligono regolare inscritto di 2n lati . Se

, e sono le misure dei lati , e le misure degli apotemi, sussistono le relazioni

(1)

(2)

Infatti:

applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo otteniamo

Per il 1° teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo possiamo scrivere ed essendo ne segue che

(3) .

Sostituendo nella (3) le misure si ottiene

e quindi la (1).

I triangoli isosceli AOB ed FOE, avendo in comune l’angolo al vertice sono simili e pertanto il rapporto tra le basi è uguale al rapporto fra le altezze relative

e passando alle misure

e quindi la (2).

Le formule trovate permettono di avere una approssimazione per difetto e per eccesso di . Partendo dal lato del quadrato inscritto si possono avere il lato dell’ottagono regolare inscritto e circoscritto, da quello dell’ottagono quello dell’esadecagono, ecc. e scoprire che le formule hanno certa ricorrenza che permette di ricavare le formule successive per induzione

e a questo si può concludere che il lato successivo avrà una in più aggiunta al radicando della radice più interna. Per i lati dei poligoni circoscritti ottenuti tramite la (2) si hanno le stesse ricorrenze