Consideriamo una funzione y = f (x) reale di variabile reale definita in un insieme E e sia x₀ un punto non isolato di E (cioè interno ad E e di accumulazione per E ). (per fissare le idee si supponga che E sia un intervallo e x₀  un punto di questo).

Il rapporto

1)                                                                                 

rappresenta evidentemente una funzione di x  definita nell’insieme E-{x₀}. Se su E esiste finito o infinito il

2)                                                                              

questo si chiama derivata della funzione y = f (x) rispetto alla x nel punto x₀  e si indica con uno dei seguenti simboli

, (notazioni di Lagrange)

, (notazioni di Cauchy)

, (notazioni di Newton)

, (notazioni di Leibniz)

In particolare, per indicare che la  f (x) è dotata di derivata finita in x₀  si dice che y = f (x) è derivabile nel punto x₀.

La differenza x - x₀ (positiva o negativa che sia ) si chiama incremento della variabile indipendente x relativo al punto x₀ e si indica di solito con Dx o con h;

si pone cioè

                     oppure                    

da cui si ricava

               oppure              .

La differenza f (x) - f (x₀)che, in base alle posizioni precedenti può scriversi

oppure

si chiama incremento della funzione y = f (x) relativo al punto x₀  e all’incremento Dx (o h) e si indica con Df o con Dy . Il rapporto 1) si chiama anche rapporto incrementale della funzione y = f (x) relativo al punto x₀  e all’incremento Dx (o h) e si indica con

             o                          o                          o            .

Poiché riesce evidentemente

             o            

e inversamente

            o            

la 2) potrà scriversi

oppure .

Si noti che se y = f (x) è derivabile in tutti i punti di un insieme E privo di punti isolati ( per esempio un intervallo) la derivata è una funzione della x₀  definita in E e si indica con una delle notazioni introdotte dove al posto di x₀  si pone x.

Il problema della tangente ad una curva.

È da esso che è scaturito il concetto di derivata. Il problema può essere così enunciato: data una curva qualsiasi, tracciare ad essa la tangente in un suo punto ( cioè scoprire un metodo generale per lo studio della tangente ad una curva). Il problema è stato risolto definitivamente e in modo rigoroso da Leibniz.

L’idea di Leibniz. Egli dice: consideriamo un arco di curva continua e sia y = f (x) la sua equazione cartesiana. Consideriamo inoltre un punto P₀(x₀,y₀) della curva. Il problema è quello di tracciare la retta tangente t in P₀ . Se io riesco a trovare il coefficiente angolare della retta t, e quindi l’inclinazione (cioè l’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse x) avrò risolto il problema. La mia idea è questa: se considero un generico punto P(x,y) della curva, distinto da P₀ e ad esso prossimo, questo, insieme a P₀, individua una retta s che chiamo secante. Adesso osservo che se mi muovo da P verso P₀ lungo la curva, la retta s ruota attorno al punto P₀ e, più mi avvicino a P₀, più la s tende ad avvicinarsi alla t. Ora qual è lo strumento che mi permette di avvicinarmi a P₀ quanto voglio : Il concetto di limite. Dico perciò la tangente t è la posizione limite che assume la secante s quando movendosi lungo la curva. 

A questo punto si tratta solo di rendere possibile operativamente il passaggio al limite. Dalla figura si osserva che il coefficiente angolare della secante s è           

   .

Ora se allora e quindi . Da ciò segue che

1)                                                 

Per completare distinguiamo 2 casi

I) ,cioè il limite esiste finito e allora

per cui l’equazione della retta tangente sarà

II) , cioè il limite 1) è infinito e allora l’equazione della tangente sarà x = x₀  .

Riassumendo, dal punto di vista geometrico, la derivata di una funzione in un punto è quel numero che esprime il valore della tangente trigonometrica dell’angolo che la tangente geometrica alla curva in quel punto forma con la direzione positiva dell’asse x.

L’idea di Torricelli.(il suo metodo è basato su considerazioni meccaniche)

Supponiamo di avere un punto che, soggetto ad una forza, descriva una traiettoria la cui equazione sia y = f (x) e che derivi dalla composizione di due moti: uno uniforme lungo l’asse x e uno vario lungo l’asse y. Per fissare le idee supponiamo che le equazioni del moto siano

.

Eliminando il parametro t si ottiene l’equazione cartesiana della curva

  .

Quando ad un certo istante t = t₀ ( che corrisponde al punto P₀ sulla curva) viene a mancare la causa che obbliga il punto a percorrere la traiettoria, esso continua il suo moto in modo che la sua direzione sia quello della tangente alla curva. Tale tangente risulterà dalla composizione di due moti uniformi, uno secondo l’asse x e uno secondo l’asse y. Quindi se io conosco le due velocità al tempo t₀ e precisamente  v_ox (quella lungo l’asse x) e v_oy (quella lungo l’asse y ), da esse posso risalire alla misura dei due segmenti e e quindi al loro rapporto

  .

Il rapporto non è altro che la tangente trigonometrica dell’angolo che la tangente geometrica forma con la direzione positiva dell’asse x. Vediamo che il risultato a cui giunse Torricelli si avvicina molto a quello ottenuto da Leibniz (ed anche Newton) con l’operazione di passaggio al limite. Cioè il rapporto ottenuto da Torricelli per variazioni molto piccole si può identificare, in un certo senso, con il limite del rapporto per .

L’idea di Descartes(Cartesio).(il suo metodo è puramente analitico)

Se data una curva y = f (x) ed un suo punto P₀(x₀,y₀) , io riesco a trovare la normale alla curva nel punto P₀ , avrò contemporaneamente risolto il problema della tangente alla curva nel punto. Cartesio imposta il suo procedimento di calcolo nel seguente modo. Considerata una curva y = f (x) e su di essa il punto P₀(x₀,y₀), egli si propone di trovare sull’asse delle x un punto C  tale che la retta sia normale alla curva data. Questo si verifica quando la circonferenza di centro C e raggio è tangente alla curva in P₀ cioè presenta due intersezioni con la curva riunite in P₀. Da queste considerazioni egli poi risolve il problema geometricamente. L’equazione della circonferenza di centro C(a,0) e raggio R è che intersecato con la curva y = f (x) fornisce a ed R che permettono di ricavare l’equazione della normale e quindi della tangente. Il metodo comunque funziona solo per funzioni razionali semplici e quindi è solo di puro interesse storico .

In pratica, se per esempio, la funzione è e P(1,1) un suo punto, intersecando la curva con la circonferenza generica di centro C(a,0) e raggio R cioè avremo

Dovendo avere la circonferenza due intersezioni coincidenti con la curva nel punto P(1,1) di ascissa 1, il polinomio di 4° grado dovrà essere divisibile per ossia:

e quindi il resto della divisione deve essere nullo. Perciò .

Questo comporta risolvere il sistema dalla prima delle quali si ricava il valore di a , ossia -2a+6 = 0 da cui a = 3. Dalla seconda si ricava il valore di dipendente dal valore di a appena trovato. Quindi il coefficiente angolare della retta per i punti P(1,1) e C(3,0) ,ossia della normale è ,perciò il coefficiente angolare della tangente sarà . Allo stesso risultato si perviene calcolando la derivata nel punto P(1,1) della f (x).

Base di conoscenza

• Concetto di limite
• Equazioni parametriche di una curva
• Dinamica del punto materiale
• Normale ad una curva
• Equazione della circonferenza

Prof.Franco Pelini

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