DEFINIZIONE DI LIMITE PER UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
Sia y=f(x) una funzione definita in un insieme E e sia x0 un punto di accumulazione per E (x0 può anche non essere contenuto in E )
Definizione 1. La funzione f(x) si dice convergente nel punto x0 su E se esiste un numero reale l che gode della seguente proprietà: scelto a piacere un numero reale e > 0, si può sempre trovare in corrispondenza un intorno Ix0,e di x0 tale che, per tutti gli x0 di E diversi da x0 e contenuti nell'intorno I, risulti
|f(x) - l |< e cioè l - e < f(x) < l + e
Ciò si esprime simbolicamente scrivendo
Esempio-Consideriamo la funzione
y=x2
definita in 
Infatti, scelto a piacere un e
> 0 , risulta |x2
- 0|< e
per tutti gli x
appartenenti a 
. (nel caso in questione di x0
appartiene all'intorno I)
Definizione 2. La funzione f(x) si dice divergente positivamente nel punto x0 su E se, scelto a piacere un numero reale L > 0 , si può sempre trovare in corrispondenza un intorno Ix0,L di x0 tale che, per tutti gli x di E diversi da x0 e contenuti nell'intorno I, risulti
f(x) > L
Ciò si esprime simbolicamente scrivendo
Esempio- Consideriamo la funzione 
definita in 
.Si ha
Infatti, scelto a piacere un L >
0, risulta 
per tutti gli x0
appartenenti a 
.
Definizione 3. La funzione f(x) si dice divergente negativamente nel punto x0 su E se, scelto a piacere un numero reale L < 0 , si può sempre trovare in corrispondenza un intorno Ix0,L di x0 tale che, per tutti gli x0 di E diversi da x0 e contenuti nell'intorno I, risulti
f(x) < L
Ciò si esprime simbolicamente scrivendo
Esempio- Consideriamo la funzione 
definita in .Si ha
Infatti, scelto a piacere un L >
0, risulta 
per tutti gli x
appartenenti a 
.
Definizione 4.
La funzione f(x)
si dice convergente
all'infinito su E
se esiste un numero reale reale l
che gode della seguente proprietà: scelto a piacere un
numero reale e
> 0, si può sempre trovare in
corrispondenza un intorno 
dell’infinito
tale che, per tutti gli x
di E
contenuti in quell’'intorno I,
risulti
|f(x) - l |< e cioè l - e < f(x) < l + e
Ciò si esprime simbolicamente scrivendo
Esempio-Consideriamo la funzione 
definita in 
:Si ha
Infatti, scelto a piacere un e
> 0, risulta 
per tutti gli x
appartenenti a 
.
Definizione 5.
La funzione f(x)
si dice divergente positivamente all’infinito su E
se, scelto a piacere un numero reale L > 0 , si può sempre trovare in
corrispondenza un intorno 
dell’infinito tale che, per tutti gli x
di E
contenuti in quell’intorno, risulti
f(x) > L
Ciò si esprime simbolicamente scrivendo
Esempio-Consideriamo la funzione f(x)
definita in .Si ha
Infatti, scelto a piacere un L >
0, risulta 
per tutti gli x
appartenenti a 
.
Definizione 6.
La funzione f(x)
si dice divergente negativamente all’infinito su E
se, scelto a piacere un numero reale L < 0 , si può sempre trovare in
corrispondenza un intorno
dell’infinito tale che, per tutti gli x
di E
contenuti in quell’intorno, risulti
f(x) < L
Ciò si esprime simbolicamente scrivendo
Esempio-Consideriamo la funzione 
definita in .Si ha
Infatti, scelto a piacere un L <
0, risulta 
per tutti gli x appartenenti a 
.
Vi sono però delle funzioni che non
hanno limite per 
. Tali funzioni si dicono
indeterminate o oscillanti nel punto x0
.
Esempio- Le funzioni
e 
definite in ,
sono indeterminate nel punto x0
=0.
E funzioni che non hanno limite per 
Tali funzioni si dicono indeterminate o oscillanti all'infinito .
Esempio
La funzione y = sin(x) definita in ,
è indeterminata all'infinito su E.
prof. Franco Pelini
