PROBLEMI DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO SU PITAGORA ED EUCLIDE

 

  1. L'area di un triangolo rettangolo è di 54 cm2, e l'ipotenusa è lunga 15 cm. ; calcolare le misure dei suoi cateti..

          [R. 12 cm. e 9 cm.]

 

  1. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 25 m. e la differenza .dei cateti 17 m. ; calcolare la lunghezza dei suoi cateti.

 [R. 24 m. e 7 m.]

 

  1. L'area di un triangolo rettangolo è 20 m2 e la differenza delle aree dei quadrati dei cateti è di 39 m2. ; calcolare la misura dei cateti.

[R. 8 m. e 5 m.]

 

  1. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 50 cm. e il raggio del cerchio in esso inscritto 10 cm. ; calcolare le misure dei cateti.

[R. 40 cm. e 30 cm.]

 

  1. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è lunga 25 m., mentre la somma dei cateti con l'altezza relativa all'ipotenusa misura 47 m. Calcolare le misure dei cateti.                                

[R. 20 m. e 15 m.] 

 

  1. L'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo è lunga 12 cm. e la somma dei suoi cateti misura 35 cm. ; calcolare le misure dei cateti.                                         

 [R. 20 cm. e 15 cm.]

 

  1. Calcolare la misura del perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto misura 6a e che l'ipotenusa supera di un segmento lungo 6a la misura della metà dell'altro cateto.                  

[R. 24a.]

 

  1. Trovare le misure dei lati di un triangolo rettangolo, sapendo che la sua area è a2 e che le misure dei lati sono in progressione aritmetica.

[Indica le misure dei lati : x - y, x, x + y . . , ottieni :  ,  ,  ]

 

  1. Calcolare la misura del perimetro e l'area di un triangolo rettangolo, sapendo che l'altezza relativa all'ipotenusa    misura   cm. e che essa divide l'ipotenusa in due parti delle quali la maggiore supera la minore .di un segmento lungo   cm.

[R. 2 p = 5 (3 + ) cm. ; A = 25 cm2.]

 

  1. Calcolare la misura del perimetro di un triangolo rettangolo che ha la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa uguale a quattro terzi dell'altezza relativa all'ipotenusa, sapendo che tale altezza misura 3 cm. di più della proiezione dell'altro cateto sull'ipotenusa. 

 

[Se x è la misura della proiezione minore, hai : x2 - 6 x - 27 = 0. R. 2 p = 60 cm.]

 

  1. Calcolare le misure dei cateti di un triangolo rettangolo, sapendo che la sua area è 6a2, e che la mediana relativa ad un cateto misura .

 

                [Se 2x e 2y sono le misure dei cateti, hai: xy=3a2; 4x2+y2=... Due soluzioni: R. 2 x1 = 3a; 2 y1 = 4a; 2 x2 = 2a; 2y2  = 6a .]

 

  1. Trovare le misure dei lati di un triangolo rettangolo, sapendo che la misura del cateto minore differisce di 70 cm. da quella dell'altro cateto, mentre la misura dell'ipotenusa supera di 10 cm. quella del cateto maggiore.                                 

 [R. 50 cm. , 120 cm. e 130 cm.]

 

  1. Il perimetro di un rettangolo misura 34 cm. e l'area è di 60 cm2. Trovare la misura di una sua diagonale.                          

 [R. 13 cm.].

 

  1. In un triangolo rettangolo l'ipotenusa misura 25 cm. e l'altezza ad essa relativa 12 cm. ; trovare l'area del triangolo equilatero costruito sul cateto maggiore avente per lato il cateto stesso.

[R. cm2.]

 

  1. La somma delle diagonali di un rombo misura 70 cm. e il perimetro 100 cm. ; calcolare l'area e la misura del lato.

 [R. Area =600 cm2., misura del lato = 25 cm.]

 

  1. In un triangolo  rettangolo le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa stanno nel rapporto 2,25. Aumentando di un segmento lungo 3 cm. la quarta parte della proiezione minore e di un segmento lungo 51 cm. la nona parte della maggiore, si ottiene un altro triangolo rettangolo di uguale altezza relativa all'ipotenusa. Calcolare la misura dell'ipotenusa del triangolo considerato.

 

[Se x è la misura della proiezione minore, hai: 2,25 x2 =…R. Misura dell'ipotenusa = 39 cm.]

 

  1. Le diagonali di un rombo misurano 18 cm. e 12 cm. Quanto deve esser lungo il segmento di cui bisogna allungare entrambe perché l'area del rombo che si ottiene sia doppia di quella del rombo dato ?

 [Se x è la misura del segmento ... hai:  x2 + 30x - 216 = 0. R. x = 6 cm.]

 

  1. In un parallelogrammo, di area , la diagonale AC è maggiore della diagonale BD; tali diagonali formano un angolo che misura 60°. Sapendo che, se le stesse diagonali fossero perpendicolari, il quadrilatero ABCD avrebbe il perimetro lungo 20a, calcolare la misura delle stesse.

 

[Se 2x e 2y sono le misure richieste, hai un facile sistema simmetrico.  R. 8 a; 6 a .]

 

  1. In un triangolo isoscele il lato è più lungo della base di 1 cm. ; sapendo che l'altezza relativa alla base misura 15 cm.  , calcolare l'area del triangolo.

 

[Se 2 x è la lunghezza della base, hai : 152 + x2 = … R. area = 120 cm2.]

 

  1. Nel triangolo rettangolo ABC l'ipotenusa BC è lunga 25 cm. e l'altezza ad essa relativa, AH, ha la misura che supera di 3 cm. quella della proiezione del cateto AB su BC. Calcolare la misura x della proiezione del cateto AB sull'ipotenusa.          

 [ x1 = 9; x2 = 0,5]

 

 

  1. E’ dato il quadrato ABCD, di lato lungo 1 cm. Determinare sul prolungamento di AB un punto P, in modo che il triangolo DPC abbia Il perimetro uguale a quello del quadrato.

 

[Posto , hai:  da  cui:  cm. ]

 

  1. E’ dato il triangolo ABC, rettangolo in A, nel quale  ,  e . Da A si conduce l'altezza AH relativa all'ipotenusa ; da H si conduce HA’  perpendicolare ad AB; da A' si conduce la perpendicolare A’H' su CB; da H' si conduce la perpendicolare H'A" su AB e così di seguito. Si domanda la lunghezza della spezzata AHA'H'A”H" ...

 

 [AH, A'H’ ... formano una progressione geometrica con  q =c/a    R. (bc)/(a-c)].

 

  1. Le misure dei tre lati di un triangolo, considerati in un certo ordine, e la misura h dell'altezza relativa al primo di essi sono quattro termini di una progressione geometrica. Calcolare le misure del tre lati.

 

       [Siano esse x, y, z. Essendo x:y = z:h, si ha : x h = y z, perciò il triangolo è...  E’ quindi:  x2=y2+z2 , y2=xz ; z2=yh . Da cui:     ;     ;    .]

 

  1. Trovare la misura dei cateti di un triangolo rettangolo, di cui è data la misura a dell'ipotenusa, sapendo che le misure di questa e dei cateti .sono in progressione geometrica. Costruzione del triangolo ricavata dalla formula risolutiva del problema.

[Indicando con x e y le misure dei cateti (x < y), otterrai facilmente a:y = y:x; inoltre x2+y2 =…          avrai. , cioè...]

  1. Un trapezio rettangolo ha l'altezza uguale alla base maggiore, che è lunga 8a. Determinare la misura della base minore, sapendo che la somma delle aree dei quadrati costruiti sul quattro lati è 232 a2.

   [Se x è la misura richiesta, hai: x2 - 8ax + 12 a2 = 0, da cui: x1 = 2a, x2 =6a. Si hanno quindi due soluzioni ... ]

 

  1.   Come il problema precedente, supponendo che la somma dei quadrati dei lati misuri 192 a2.

 [R. Impossibile perché le soluzioni non sono reali ... ]

 

  1.  Come il n. 26, solo la somma dei quadrati dei lati misuri 320a2.

 [R. Impossibile perché le soluzioni sono una negativa e l'altra maggiore di ... 1

 

  1. Il perimetro del rettangolo ABCD misura 34 cm. Il triangolo isoscele, avente per lato la diagonale AC e per semibase il lato AB, ha il perimetro lungo 50 cm. Determinare le misure x e y dei lati AB e BC.

[Hai:  ecc. R. x =12, y = 5; l'altra soluzione si scarta perché ... 1

 

  1. La differenza fra l'ipotenusa e ciascun cateto di un triangolo rettangolo misura rispettivamente 2 cm. e 4 cm. Calcolare le misure dei suoi lati.

 

[Se x, y, z      sono le misure dei cateti e dell'ipotenusa, hai. z=x+2, z=y+4, z2 =… Una soluzione si scarta, perché..:  R.10 cm. , 8 cm. ,  6 cm..]

 

  1. Il perimetro di un triangolo isoscele misura 48 cm. e la somma delle aree dei quadrati costruiti sul tre lati è di   792 cm2. Determinare la misura della base del triangolo.

   

    [Se 2 x è tale misura e y quella di uno dei lati, hai x + y = 24, 2 x2 + y2 =    ...  R. 2 x1 = 18 cm., 2x2 = 14 cm.]

 

  1. L'area del trapezio ABCD è 64 a2; la base AB misura 12 a e l'altezza è quattro quinti della base CD. Trovare la misura della base CD.

[Posto  , hai : x2 + 12 ax - 160 a2 = 0  R. x = 8 a .]

 

  1. I cateti del triangolo ABC, rettangolo in A, misurano   e  AC 18 cm. Sulla semiretta AB si fissi un punto P, tale che sia . Da H, punto medio di AP, si conduca la perpendicolare ad AB, che intersechi BC in D. Calcolare x, in modo che il triangolo ADP sia equivalente a tre ottavi del triangolo dato.

 

 [Poni. ;. hai: x y =405/4 ; ma 18:5=y:(15-x/2) ; quindi ..Hai in definitiva: 4x2-120x+675= 0 da cui x1 = 22,5 cm. ; x2  =  7,5 cm. R. Si hanno due soluzioni.]

 

  1. In un triangolo rettangolo, il rapporto fra l'altezza relativa all'ipotenusa e l'ipotenusa stessa è un terzo, mentre la somma dei cateti misura  . Calcolare la misura dei lati del triangolo.

[Indicando con x e y li misure dei cateti, hai : x +y = , 3 xy =…R. ; . ]

 

  1. Determinare la misura della base di un triangolo isoscele, sapendo che la misura del lato supera quella della base di 6a, e che l'altezza è lunga 24a.                                                     

[R. 20 a.]

 

  1. Può esistere un triangolo, i cui lati misurano rispettivamente 12 cm., 6 cm. e 9 cm. ? Quanto deve essere lungo un segmento, affinché i tre lati, aumentati di esso, siano lati di un triangolo rettangolo ?

[R. Si, perché ... Se x è la misura del segmento, hai facilmente: x = 3 cm.]

 

  1. Il perimetro di un rettangolo è lungo 34 cm. e la sua area è di 109 cm2. inferiore a quella del quadrato costruito su di una diagonale del rettangolo. Calcolare le misure  x e y dei lati del rettangolo.

[Hai facilmente il sistema simmetrico : x2+y2- x y =…R. 5 cm. e 12 cm.]

 

  1. E’dato il rettangolo ABCD. Alle estremità di esso, ed esternamente, si costruiscono due triangoli rettangoli isosceli BCE ed ADF di ipotenuse BC ed AD. Trovare la lunghezza di AD, sapendo che l'area della figura è 896 cm2. e che  misura 64 cm.

[Poni ; hai: x2 - 128 x + 1792 = 0. x1 =16 cm. x2 si scarta ... perché ... ]

 

  1. Si calcolino le misure della base e dell'altezza di un triangolo isoscele, i cui lati misurano 13 cm., sapendo che la somma di metà base con la terza parte dell'altezza sta nel rapporto nove tredicesimi con il lato del triangolo.

[Se x è la misura dell'altezza, hai: 5 x2 - 27 x   - 396 =  0. R. b=10 cm ;  h= 12 cm.]

 

  1. Calcolare la misura del lato e quella della base di un triangolo isoscele, sapendo che il suo perimetro misura 38 cm., e che l'area del parallelogrammo avente la base uguale a quella del triangolo e l'altezza uguale ad uno dei lati uguali dello stesso è 176 cm2.

 

[Indica con 2 x la misura della base ... Hai x1 =.8, x2 = 11, ma solo x, soddisfa, perché ... ]

 

  1. Nel triangolo isoscele ABC la misura del lato AB supera di 3 cm. la misura della metà della base. Calcolare la misura del perimetro dei triangolo, sapendo che se si prolunga la base AC di un segmento  = 6 cm. il triangolo ABH è rettangolo in B.

 

[Se , hai : (3 + x)2 = x (2 x + 6) (perché ?) R. 2 p = 18 cm.]

 

  1. Nel triangolo ABC l'altezza AH, relativa al lato BC, misura 12 cm e divide BC in due parti lunghe rispettivamente 7 cm. e 14 cm. Si prolungano i segmenti HB ed HC di due segmenti uguali BM e CN. Quale deve essere la misura di BM e CN affinché il triangolo MAN sia rettangolo?

 

[Se , hai :x2 + 21 x - 46 = 0.      R. x = 2 cm.,]

 

  1. Nel trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore CD ha per misura 16 m., e la diagonale    DB è perpendicolare al lato obliquo DC. Si calcolino le misure della base minore AB e del lato BC, sapendo che :

[R. ;  ]

 

  1. Di un triangolo un lato misura 14a, l'altezza relativa 12a e la somma degli altri due lati 28a. Calcolare la misura dei lati incogniti.                                     

[R. 15a, 13a.] .

 

  1. Calcolare le misure   del lati di un trapezio rettangolo, sapendo che il lato obliquo è lungo 13 cm., il perimetro 36 cm. e che l'area è 66 cm2.

 

   [Se x, y e z sono le misure delle basi e dell'altezza, hai: x1= 6 - ;  x2 = 3; y1 = 6 + ;  y2 = 8; z1= 11, z2 = 12.]

 

  1. Un trapezio isoscele convesso ha le diagonali perpendicolari al lati obliqui. Calcolare la misura del suo perimetro e l'area, sapendo che una diagonale misura 20 cm. e che la somma dei quadrati dei quattro lati ha l'area di 1124 cm2.

 

           [Poni: misura   della base maggiore = x; misura di un lato obliquo = y ; hai: x2 = y2+202, ecc ... da cui: x4- 881 x2 + 160000=0 ; x1 = 25 e x2.= 16; questa da scartare perché.. .; 2 p = 62 cm. , area   192 cm2. ]

 

  1. Nel trapezio isoscele ABCD, avente il perimetro lungo 62 cm., la diagonale DB è perpendicolare al lato obliquo BC. Determinare le misure dei suoi lati, sapendo che la somma delle basi misura 32 cm.

 

            [Se x e y sono le misure delle basi e z del lato BC, hai: x + y = 32, x + y + .. =62; 2z2 = x (x-y), solo una soluzione soddisfa ...R.Le basi misurano 25cm. e 7 cm.; il lato 15cm.]

 

  1. In un trapezio isoscele le misure della base minore, dei lato obliquo e della base maggiore sono In progressione aritmetica. Calcolare la misura del lato obliquo, sapendo che la somma dei lati obliqui con la base minore misura 22 cm., e che la somma delle aree dei quadrati dei quattro lati è 264cm2.

                                   [R. 8 cm.]

 

  1. Il trapezio ABCD, rettangolo in A e D, ha la base maggiore DC uguale al lato obliquo BC. Sapendo che la sua area è di 14 cm2., e che la somma della base minore con il lato obliquo misura 7 cm., calcolare la misura del suo perimetro.

[Due soluzioni: 2p1 = 16 cm. 2p2 = (15 + 1/3 )cm. ]

 

  1. Un trapezio isoscele ha le diagonali perpendicolari ai lati obliqui e il perimetro lungo . Calcolare la misura x del lato.obliquo e la misura y della base minore, sapendo che la differenza delle basi misura  .

  

   [Hai: x + y =  ;  x2 =324a2 +  R. Solo x1 =  e y1 = soddisfano ...] 

 

  1. In un trapezio isoscele, gli angoli alla base misurano 30°, e la misura della base maggiore supera di 8 cm. quella del lato obliquo. Determinare la misura x del lato obliquo del trapezio, sapendo che l'area del trapezio è di  cm2,.                  

[R. x = 12 cm.]

 

  1. Un trapezio isoscele ha gli angoli adiacenti alla base maggiore ampi 60° ; sapendo che la somma delle aree dei quadrati dei quattro lati è 168 a2, e che la misura della base minore supera di 2a quella del lato obliquo, calcola la lunghezza del perimetro del trapezio.

 

 [Se x è la misura del lato obliquo, hai : 7 x2 + 12 ax - 160 a2 = 0. R. 2 p = 24 a.]

 

  1. Un trapezio isoscele ha gli angoli adiacenti alla base minore ampi 120° e l'area uguale a cm2. Sapendo che la misura della base minore supera quella del lato obliquo di 4 cm., calcolare la misura del perimetro del trapezio.                           

[R. 2 p = 48 cm.]

 

  1. Un trapezio isoscele ha gli angoli adiacenti alla base maggiore ampi 60° e una diagonale lunga  cm. Sapendo che la misura del lato obliquo supera di 1 cm. quella della base minore, calcolare la misura del perimetro del trapezio.                           

[R. 2 p = 28 cm.]

 

  1. Un trapezio isoscele ha gli angoli alla base maggiore ampi 60°. Sapendo che il perimetro del trapezio misura 18 cm. e che la sua area è uguale a quella di un triangolo equilatero di lato lungo  cm., calcolare la misura della sua base minore e del lato obliquo.

 

 [Se y e x sono le misure richieste, hai: 3 x + 2 y = 18. R. x1 = 4 cm. ; y1 = 3 cm. ; x2 = 5 cm. ; y2 = 1,5 cm.]

 

  1. In un trapezio isoscele le diagonali si tagliano perpendicolarmente. Sapendo che l'area del trapezio è 578 cm2. e che il lato obliquo misura 26 cm., calcolare le lunghezze x e y dei segmenti in cui si dividono le due diagonali.

[Hai un facile sistema simmetrico. R. 24 cm.;10 cm.]

 

  1. Nel triangolo ABC la base BC è fissa e misura 36 cm.; Inoltre si sa che in esso è , e che il vertice A è variabile. 1) Calcolare la misura della mediana AM. 2) Trovare il luogo geometrico del vertice A.

[R. 1) AM=34cm.2) E’ una circonferenza di centro ... ]

 

  1. Determinare le misure dei due lati di un triangolo data la loro somma 16a, sapendo che il terzo lato misura 8a e la relativa mediana 7a.

[R. 7 a, 9 a.]

 

  1. E’ dato il quadrato ABCD, di lato lungo 4a. Condurre per A una retta che intersechi BC in M, in modo che i due poligoni, in cui resta diviso il quadrato, abbiano i perimetri che stiano fra loro come 7 : 6.

[Posto , hai : 21 x2 - 143 a x + 240a2 = 0. Solo x1= 3a soddisfa . . .]

 

  1. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, la sornma dell'ipotenusa BC con l'altezza AH ad essa relativa misura 37 cm., mentre la differenza delle due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misura 7 cm. Calcolare la misura del perimetro del triangolo e l'area.

 

         [Se x è la misura della proiezione minore, ottieni: . Solo x1 =... soddisfa  R. 2p = 60 cm.; area =150cm2.]

 

prof.Franco Pelini (dai testi del prof. Pompeo Nisini)

 

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