PROBLEMI SUI TRIANGOLI SIMILI E RELATIVE APPLICAZIONI
  1. In un triangolo rettangolo un cateto è tre quarti dell'altro, e l’ipotenusa misura 25a. 1) Calcolare la misura dei cateti, dell'altezza relativa all'ipotenusa, delle due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa e l'area. 2) Da un punto del cateto maggiore che a partire dal vertice dell'angolo retto lo divide in parti proporzionali a 2 e 3, si conduce la perpendicolare all'ipotenusa. Calcolare l'area e la misura del perimetro delle due parti in cui resta diviso il triangolo.

    2. Soluzione

  2. Nel triangolo ABC si ha: . Si conducono le mediane BM ed NC che si intersecano in G; si traccia il segmento MN e la parallela DF a BC per il punto G. Calcolare le misure dei lati del trapezio DFMN.

    3. Soluzione

  3. Da un punto D del lato AB del triangolo ABC si conduce la corda DE parallela ad AC; si sa che è . Calcolare le misure dei lati AB e BC.

    4. Soluzione

  4. Nel triangolo rettangolo ABC il cateto BC è tre quinti dell'ipotenusa, e il perimetro misura 60 cm. Si conduce l'altezza BH relativa all'ipotenusa, e si prolunga di un segmento HN = BH/3. Da N si conduce NM perpendicolare ad AB. Calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo BMN.

    5. Soluzione

  5. Nel triangolo rettangolo ABC il cateto BC è quattro terzi del cateto AB e l'ipotenusa misura 900 dm. La perpendicolare condotta da un punto P del cateto BC sull'ipotenusa determina un secondo triangolo PQC, il cui cateto QC misura 4 dm. Calcolare la misura del perimetro e l'area dei triangolo PQC.

    6. Soluzione

  6. I cateti del triangolo rettangolo ABC sono proporzionali a 3 e 8/5, e la differenza tra l'ipotenusa BC e il cateto maggiore AB misura 4cm. Da un punto P del cateto maggiore condurre la perpendicolare PN all'ipotenusa, in modo che risulti Trovare le misure dei lati del triangolo ABC, e del perimetro del triangolo BPN.

    7. Soluzione

  7. Dalle estremità B e C dell'ipotenusa del triangolo rettangolo BAC si conducono le perpendicolari all'ipotenusa, che incontrano i prolungamenti di CA e BA nei punti B' e C'. Sapendo che . 1) Calcolare 2)B'C' taglia BC in O; calcolare .

    8. Soluzione

  8. Le misure dei lati di un triangolo sono . Si prolunga AB di un segmento . Con vertice in D, e dalla stessa parte del triangolo, si costruisce l'angolo . Il lato DF interseca la retta AC in E. Calcolare le misure dei lati AE e DE del triangolo ADE.

    9. Soluzione

  9. Le misure dei lati di un triangolo sono . Dal vertice B si conduce la bisettrice dell'angolo , che interseca il lato opposto in D. 1) Calcolare le misure dei segmenti AD e DC. 2) Si conduce per D la parallela a CB, che interseca AB in G. Dimostrare che DG=BG, e calcolare la lunghezza dei segmenti DG e GA.

    10. Soluzione

  10. Nel triangolo ABC,isoscele sulla base BC, il perimetro misura 48cm. e il lato AB è cinque quarti dell'altezza relativa a BC. 1) Calcolare l'area del triangolo. 2) Per A si conduce la perpendicolare al lato AB; essa intersecala retta BC in D; calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo BAD.

    11. Soluzione

  11. Le misure dei lati di un triangolo sono : . Si prolunga BC di . Per D si conduce la parallela ad AB, che interseca la retta AC In E. Si tracciano le rette AD e BE che si intersecano in F. 1) Calcolare e il rapporto FA:FD. 2) Per C si conduce la parallela ad AB che interseca AF e BF in R ed S. Dimostrare che RC = CS e calcolare la lunghezza di questi segmenti.

    12. Soluzione

  12. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il rapporto dei due cateti è tre quarti e la loro differenza misura 14cm. Calcolare la misura del perimetro e l'area. Sul cateto maggiore si porta il segmento , .; per M si conduce la parallela all'altro cateto, che interseca l'ipotenusa in N; calcolare la lunghezza del segmento .

    13. Soluzione

  13. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 45 cm. ; il triplo di un cateto è uguale al quadruplo dell'altro. Un rettangolo è inscritto nel triangolo, e un suo lato giacente sull'ipotenusa misura 30 cm. Calcolare l'area di tale rettangolo, e la lunghezza delle tre parti in cui i suoi vertici dividono l'ipotenusa.

    14. Soluzione

  14. Le basi di un trapezio misurano 40 m. e 60 m. e i lati 15 m. e 25 m. Calcolare la misura degli altri due lati del piccolo triangolo che si ottiene prolungando i lati obliqui del trapezio.

    15. Soluzione

  15. è dato un trapezio la cui altezza misura 15a e le cui basi misurano rispettivamente 6 a e 12 a. Calcolare le misure delle distanze del punto d'incontro delle diagonali dalle rette delle basi.

    16. Soluzione

  16. Il lato di un triangolo isoscele misura 70 a e l'altezza è tre ottavi della base ; calcolarne l'area. Per un punto di uno dei lati uguali che, a partire dal vertice, divide tale lato in parti che stanno fra loro come 3 : 7, si conduce la parallela alla base. Trovare l'area del trapezio staccato nel triangolo da questa parallela.

    17. Soluzione

  17. è dato il trapezio rettangolo ABCD; l'altezza AD, la base minore DC e la maggiore AD stanno fra loro come 36 : 31 : 55. Sapendo che la somma dei tre segmenti misura 244 cm., trovare su AD un punto P in modo che il triangolo CPB abbia l'area di 3600 cm2.

    18. Soluzione

  18. Nel trapezio isoscele ABCD, avente le diagonali perpendicolari, il rapporto delle basi AB e DC è 0,75, e la diagonale BD misura 14 a. 1) Calcolare il valore dell'angolo . 2) Calcolare la misura del perimetro e l'area del trapezio, nonché la misura dei segmenti in cui si dividono le diagonali.

    19. SOLUZIONE

  19. Le basi di un trapezio, rettangolo in A e D, misurano A che distanza è il lato perpendicolare alle basi dal punto P di intersezione delle diagonali ?

    20. SOLUZIONE

  20. Il trapezio ABCD, rettangolo in A e D, ha la base maggiore DC che misura 13 cm., l'altezza AD che misura 12 cm. e il lato obliquo BC lungo 15 cm. 1) Calcolare la misura del perimetro e l’area del trapezio. 2) Calcolare la misura dei due segmenti in cui la perpendicolare condotta per B al lato BC divide il segmento AD.

    21. Soluzioni

  21. Nel trapezio ABCD, rettangolo in A e D, si sa che la base minore AB è uguale al lato BC, che , e che il perimetro misura 220 cm. Calcolare l'area e la misura del perimetro del triangolo che si ottiene prolungando i lati obliqui e avente per uno dei lati la base maggiore del trapezio.

    22. Soluzione

  22. Nel trapezio ABCD, rettangolo in A e B, la base AD misura 48 cm. la base BC 32 cm. e il lato obliquo CD 20. cm. 1) Calcolare la misura del perimetro e l'area del trapezio. 2) Determinare sull’altezza AB un punto M in modo che gli angoli AMD e BMC risultino uguali. 3) Per C si conduce la perpendicolare al lato CD; essa interseca AD in T; calcolare l'arca delle due parti in cui resta diviso il trapezio dalla retta CT.

    23. Soluzione

  23. Nel trapezio ABCD la base minore AB, la maggiore CD e l’altezza stanno fra loro come 7: 10: 12, e l’area è 918 cm2. Si conduce la diagonale AC, e per un punto P preso,su di essa, che la divide, a partire da A, in parti proporzionali a 1 e 2, si traccia la parallela alle basi. Calcolare l’area dei due trapezi che si ottengono.

    24. Soluzione

  24. Di un trapezio rettangolo si conosce la base maggiore che misura 25 cm. e la base minore che misura 18 cm. Se si unisce il punto medio M della base minore con gli estremi della maggiore si forma un angolo retto. Determinare la misura del perimetro e l'area del trapezio.

    25. Soluzione

  25. è dato il trapezio ABCD, rettangolo in A e D. Essendo , 1) quale relazione deve esistere fra a, b, h affinché le diagonali AC e BD siano perpendicolari? 2) Sia M il punto medio di AD ; quale relazione deve esistere fra le stesse quantità affinché il triangolo BMC sia rettangolo in M.

    26. Soluzione

  26. Il perimetro di un trapezio misura 124 m. ; i due lati obliqui sono uguali alla base minore, e la somma delle proiezioni dei due lati sulla base maggiore misura 20 m. Trovare: 1) la misura dei lati del trapezio; 2) quella dell'altezza; 3) la misura dei prolungamenti dei lati sino al punto d'incontro, 4) il rapporto tra l’area del trapezio e l’area del triangolo formato dal prolungamenti dei lati e dalla base minore.

    27. Soluzioni

  27. Il trapezio ABCD ha la base maggiore , la minore , il lato e Le rette AD e BC si intersecano in O. Si traccia la bisettrice dell'angolo ; essa interseca CD in E ed AB in F. 1) Calcolare la lunghezza dei segmenti AO, BO,CO e DO: 2) Dimostrare che DE:CE = AF:BF, e indicare il valore comune di questi due rapporti. 3) Calcolare la lunghezza di BF, AF, CE, DE.

    28. SOLUZIONE

  28. In un trapezio la somma della base minore, della maggiore e delle diagonali misura 840 cm., e tali segmenti stanno fra loro come 7: 21: 26: 30. Calcolare l'area del trapezio e quella di ognuno dei triangoli in cui esso resta diviso dalle diagonali.

    29. Soluzione

  29. Dopo aver dimostrato che, se un trapezio rettangolo ha le diagonali perpendicolari, l'altezza è media proporzionale fra le basi, calcolare l'area e la misura del perimetro di un trapezio rettangolo avente le diagonali perpendicolari, le cui basi misurano rispettivamente 16 cm. e 25 cm.

    30. Soluzione

  30. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 120 cm., e il rapporto tra un cateto e l’altezza relativa all’ipotenusa è cinque quarti. Si tracci la parallela al cateto maggiore in modo che divida l’altro cateto, a partire dal vertice dell’angolo acuto, in parti proporzionali a 7 e 5. Calcolare le aree e le misure dei perimetri delle due parti in cui resta diviso il triangolo dato.

    31. Soluzione

  31. Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, il perimetro misura 640cm. Sapendo che l'altezza BK sta nel rapporto sei quinti all’altezza AH, calcolare la misura dei segmenti in cui si dividono scambievolmente tali altezze.

    32. Soluzione

  32. Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore DC misura 6 cm. Da B si conduce l'altezza BH, e da H la perpendicolare al lato obliquo BC, che interseca tale lato in R. Sapendo che R divide BC in parti proporzionali a 16 e 9, e che , calcolare: 1) la misura del perimetro e l'area del trapezio; 2) la misura del perimetro e l’area del triangolo che si ottiene prolungando i lati obliqui e avente come uno dei lati la base minore dei trapezio.

    33. Soluzione

  33. Il triangolo ABC ha Condurre una parallela a BC che incontri i prolungamenti di AB ed AC in D. e in E, in modo che il trapezio BCED abbia l'area di 262,50 cm2. Assumere quale incognita BD = x. Calcolare inoltre la misura della base maggiore e dell'altezza del trapezio.

    34. Soluzione

  34. Nel triangolo rettangolo BAC il cateto AC misura 60 cm. e il rapporto fra la sua proiezione sull'ipotenusa e la proiezione dell'altro cateto è sedici noni. Si prolungano i due cateti AB ed AC di due segmenti BD e CE che stanno coi relativi cateti nel rapporto due terzi. Calcolare la misura del perimetro e l’area del quadrilatero BDEC.

    35. SOLUZIONE

  35. Un trapezio ha la somma delle basi che misura 56 cm., e le diagonali lunghe rispettivamente 60 cm. e 52 cm. Sapendo che il rapporto delle basi è 3, calcolare l'area dei quattro triangoli in cui resta diviso il trapezio dalle diagonali. Dimostrare che in ogni trapezio i triangoli formati dai segmenti in cui si dividono le diagonali e dai lati obliqui sono equivalenti.

    36. SOLUZIONE

  36. Le basi di un trapezio misurano 40 m. e 80 m. e i lati obliqui 30 m. e 50 m. 1) Dimostrare che è rettangolo. 2) Calcolare la sua area e quella dei triangoli formati dalle diagonali.

    37. SOLUZIONE

  37. Una diagonale del rettangolo ABCD, di base AB, misura 16 m. e l'altezza 9,6 m. Da un punto P della diagonale AC, che la divide in parti proporzionali a 3 e 5, condurre la perpendicolare PN alla base. Trovare la misura del perimetro e l'area del quadrilatero PNBC che si ottiene.

    38. Soluzione

  38. è dato il triangolo ABC rettangolo in A. Il cateto minore AC misura 15 cm. e l'altezza AH, relativa all'ipotenusa, è quattro terzi della proiezione di AC sull'ipotenusa. Calcolare la misura del perimetro del triangolo. L'altezza AH si prolunga, oltre l'ipotenusa, di un segmento . Da E si conduce la perpendicolare sulla retta del cateto maggiore; sia D il suo piede. Calcolare la misura del perimetro del triangolo AED e l'area del quadrilatero BDEH.

    39. SOLUZIONE

  39. Il triangolo equilatero ABC ha il lato lungo l. Sopra l'altezza AH si fissa un punto P che, a partire da A, divide l'altezza in parti rispettivamente proporzionali a 2 e 3. Per P si conduce la parallela alla base BC, che taglia AB in D. Per D si conduce la perpendicolare a DP, che incontra la retta CA in E. Calcolare l'area del poligono BDEC.

    40. Soluzione

  40. L'ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo stanno fra loro come 13:12, e la loro somma misura 360 cm. Calcolare le misure dei lati di un altro triangolo simile al dato, la cui area ne sia i venticinque trentaseiesimi. Calcolare inoltre la misura della diagonale del quadrato, la cui area è media proporzionale tra quella dei due triangoli.

    41. Soluzione

  41. Il triangolo isoscele ABC ha la misura del perimetro di 64 cm. Sapendo che l'altezza relativa al lato AB è sei quinti di quella relativa alla base BC, calcolare l'area del triangolo.

    42. SOLUZIONE

  42. Due mediane di un triangolo sono perpendicolari fra loro e misurano 13,5 cm. e 16 cm. Quanto misura il lato di un quadrato equivalente al triangolo considerato ?

    43. SOLUZIONE

  43. In due poligoni simili il rapporto dei perimetri è cinque terzi. Il lato del triangolo equilatero, la cui area è media proporzionale fra le aree ,dei due poligoni, misura cm. Trovare la somma delle aree dei due poligoni.

    44. SOLUZIONE

  44. Nel trapezio ABCD la base maggiore AD misura 25 cm. e la diagonale AC, perpendicolare al lato obliquo CD, misura 20 cm. Sapendo che , calcolare la misura dell'altezza BH, l'area del trapezio e la misura della distanza di B dalla diagonale AC.

    45. Soluzione

  45. L'altezza di un trapezio isoscele è un terzo della base minore; questa è due terzi della maggiore, e la somma delle misure dei tre segmenti è 34 m. Calcolare le aree, dei triangoli che si ottengono prolungando i lati obliqui.

    46. Soluzione

  46. Date le misure a, b, h, delle basi e dell'altezza di un trapezio, determinare le aree delle quattro parti nelle quali esso è diviso dalle diagonali. Verificare che due di esse sono medie proporzionali fra le altre due.

    47. SOLUZIONE

  47. Le basi di un trapezio misurano 9a e 23a ; gli altri lati 13a e 15a. Calcolare l'area del trapezio e la misura delle diagonali.

    48. Soluzione

  48. è dato il quadrato ABCD di lato lungo l. Portare, a partire da ciascun vertice e sopra ciascun lato, dei segmenti in modo che, congiungendo gli otto estremi di tali segmenti, si ottenga un ottagono regolare. Di tale ottagono determinare la misura x del lato e l'area.

    49. SOLUZIONE

  49. Da un punto P di un lato del triangolo equilatero ABC si conducono le perpendicolari agli altri due lati. Trovare l'area di ciascuna delle tre parti in cui viene diviso il triangolo, sapendo che la misura del lato è 1 e che il punto P divide il lato in due parti delle quali una è i tre quinti dell'altra.

    50. SOLUZIONE

  50. L'apotema di un esagono regolare misura a; calcolare l'area.

    51. Soluzione

  51. è dato il quadrato ABCD, il cui lato misura a; si prolunghi AB di un segmento BE e il lato BC di un segmento CF = AE. Si congiungano i punti E,D, F. 1) Dimostrare che il triangolo EDF è isoscele e rettangolo. 2) Calcolare la misura dell'ipotenusa EF e l'area del triangolo EDF, supponendo che ED incontri DC nel suo punto medio.

    52. SOLUZIONE

  52. Dato Il quadrato ABCD, il cui lato misura a, si congiunga il vertice D col punto medio E del lato AB, e il vertice C con F, punto medio di AD. Calcolare l'area delle quattro parti del quadrato così determinate e la misura dei segmenti DE, CF.

    53. Soluzione

  53. Un rettangolo ha le dimensioni che misurano 15 m. e 5 m. Si conducono le bisettrici dei suoi angoli interni. 1) Dire di che natura è la figura determinata dai punti d'incontro delle bisettrici. 2) Calcolare l'area della stessa. 3) Dimostrare che le diagonali di essa sono parallele ai lati del rettangolo.

    54. Soluzione

  54. L'area di un rombo è a2 e una diagonale è gli emme ennesimi dell'altra. Determinare le misure delle diagonali e del perimetro del rombo. Calcolare l'area di un rombo simile di perimetro doppio.

    55. SOLUZIONE

  55. Nel parallelogrammo ABCD la base AB misura 18 cm. e l'altezza misura 12 cm. Si congiunge un vertice col punto di mezzo dei due lati opposti; calcolare l'area delle tre superfici che si determinano.

    56. SOLUZIONE

  56. Trovare sulla diagonale AC del quadrato ABCD, il cui lato misura a, un punto O tale che, congiungendolo con i vertici A, D, B, il quadrato resti diviso in tre parti equivalenti.

    57. SOLUZIONE

  57. In un triangolo isoscele, la cui base è due terzi dell'altezza, è, inscritto un rettangolo con la base doppia dell'altezza. Sapendo che la base del rettangolo si trova su quella del triangolo e che l'area del triangolo è a2, determinare quella del rettangolo.

    58. SOLUZIONE

  58. Un triangolo equilatero è equivalente ad un rettangolo che ha la base doppia dell'altezza. Calcolare il lato del triangolo equilatero, sapendo che il perimetro del rettangolo misura .

    59. Soluzione

  59. Calcolare l'area di un quadrato, sapendo che la somma del lato con la diagonale misura a.

    60. Soluzione

  60. Qual è il rapporto tra il lato del quadrato e quello del triangolo equilatero equivalente ?

    61. Soluzione

  61. Qual è il rapporto tra le aree del quadrato e del triangolo equilatero aventi lati uguali ?

    62. Soluzione

  62. Un triangolo ha l'area di 384 cm2., i suoi lati sono inversamente proporzionali a 2,3/2,6/5. Calcolare le misure dei lati e verificare che il triangolo considerato è rettangolo.

    63. SOLUZIONE

  63. è dato il triangolo ABC , rettangolo in A. Sull'ipotenusa si costruisca il quadrato BCDE, e sui cateti, AB ed AC, i triangoli equilateri APB ed ACR ; quindi si congiunga il punto P con R ed E. Sapendo che l'area del quadrilatero DEPR è e che l'ipotenusa è doppia del cateto AB, calcolare la misura del perimetro del triangolo ABC.

    64. SOLUZIONE

  64. L'area di un triangolo è 35 cm2., l'altezza è sette decimi della base, e divide la base stessa in due segmenti proporzionali a 2 e 3. Calcolare le misure dei lati del triangolo.

    65. Soluzione

  65. Il perimetro di un triangolo misura 42 cm., e i lati sono proporzionali ai numeri 1/35,2/65,3/91. Calcolare l'area del triangolo.

    66. Soluzione

  66. I due triangoli equilateri ABC e CDE, i cui lati misurano a e b (a > b), hanno le basi su di una stessa retta AE, sono posti dalla stessa banda rispetto ad essa, ed hanno in comune il solo vertice C. Si congiunge B con D; tale retta interseca la retta AE, in 0. Calcolare in funzione di a e b l'area dei due triangoli, nonché l'area dei triangoli DEO, ABO, BCO e BCD.

    67. Soluzione

  67. Il triangolo ABC è rettangolo in A ; in esso il cateto AB è quattro quinti dell'ipotenusa, e l'area di 96 cm2. Calcolare la misura del suo perimetro. Dal punto medio M dell'ipotenusa si conduce, esternamente al triangolo, il segmento perpendicolare all'ipotenusa stessa ; da P si conduce la parallela ad AC, essa interseca l'ipotenusa in R e il cateto AB in V. Calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo RVB.

    68. Soluzione

  68. La somma delle aree di due triangoli isosceli simili è 3000 cm2. e le altezze misurano rispettivamente 12 cm. e 84 cm. Calcolare la misura del perimetro di ciascun triangolo.

    69. Soluzione

  69. Nel triangolo ABC l'altezza CH, relativa ad AB, misura a. A che distanza da C si deve condurre una parallela ad AB, perché, detti M ed N i punti d'intersezione con gli altri due lati del triangolo, il raggio del cerchio inscritto nel triangolo ABC sia quadruplo di quello inscritto nel triangolo MCN ?

    70. SOLUZIONE

  70. I1 triangolo ABC è inscritto in una circonferenza di centro O. La bisettrice dell'angolo interseca BC in D e la circonferenza in M. 1) Dimostrare che si ha . 2) Supposto che sia , che BC disti da O di un segmento lungo 3 cm. e che , , calcolare .

    71. SOLUZIONE

  71. Nel quadrilatero ABCD il lato AB è perpendicolare alla diagonale BD ; il lato CD è perpendicolare alla diagonale AC ed O è il punto d'intersezione delle diagonali. Sapendo che è , 1) Calcolare . 2) Calcolare la misura della distanza di O dalla retta AD.

    72. SOLUZIONE

  72. Nel triangolo ABC è 1) Costruire la circonferenza passante per B e tangente ad AC in A. 2) Tale circonferenza interseca BC ulteriormente in un punto P ; calcolare

    73. Soluzione

  73. Le rette a e b sono parallele. Su a sono dati due segmenti adiacenti AB e BC lunghi rispettivamente 8 cm. e 6 cm., su b sono dati, nello stesso ordine di AB e BC, i segmenti adiacenti DE ed EF, lunghi ordinatamente 24 cm. e 18 cm. Detto P Il punto d'intersezione delle rette DA ed EB, 1) Provare che P C ed F sono allineati. 2) Sapendo che P dista da a di un segmento lungo 5 cm., calcolare la misura della distanza della retta a da b.

    74. SOLUZIONE

  74. è dato il segmento ; le rette a e b sono parallele ad esso. 1) Provare che se P è un punto di a, le rette AP e BP staccano sulla b un segmento NN di lunghezza costante al variare di P su a. 2) Sapendo che la striscia delle rette a e b non contiene AB e che le distanze di A da a e b misurano rispettivamente 6 cm. e 9 cm., calcolare .

    75. SOLUZIONE

  75. Sono date le rette a e b parallele. Su a si fissino consecutivamente I punti A, B e C e su b, nello stesso ordine, i punti M, N e T. Sapendo che è 1) Provare che le rette MA, NB e TC concorrono nello stesso punto. 2) Sia D il punto d'intersezione di AN con MB, E il punto d'intersezione di BT con NC ed F il punto d'intersezione di AT con MC. Provare che D, F ed E sono allineati. 3) Supposto che la distanza fra a e b misuri 24 cm., calcolare la distanza di a dalla retta DE dopo aver provato che DE è parallela alle rette date.

    76. SOLUZIONE

  76. Il triangolo ottusangolo ABC, isoscele sulla base AC, ha l'area di 2700 cm2. ed 1) Calcolare la misura del suo perimetro e quella delle sue altezze. 2) Detto O il suo ortocentro, calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo OBC.

    77. SOLUZIONE

  77. Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AC, l'altezza AM relativa a BC misura 24a, mentre l'altezza BH relativa alla base AC misura 20a. 1) Calcolare la.misura del perimetro e l'area del triangolo. 2) Calcolare la misura della distanza dell'ortocentro O dai tre lati. 3) Dimostrare che il quadrilatero HCMO è inscrittibile.

    78. SOLUZIONE

  78. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, è Il quadrato inscritto in esso, avente due vertici sull'ipotenusa, ha l'area di 25 cm2. Calcolare la misura del perimetro del triangolo.

    79. SOLUZIONE

  79. Nel trapezio isoscele ABCD, la base AB misura 24 cm., la base DC misura 72 cm. e l'altezza 24 cm. E sia il punto medio di AB, F quello di BC, G quello di DC ed H quello di AD. 1) Dimostrare che EFGH è un rombo. 2) Dimostrare che le diagonali del trapezio s'intersecano in un punto P della retta EG. 3) Detto 0 il punto d'intersezione delle diagonali del rombo, calcolare la misura di OP.

    80. SOLUZIONE

  80. è dato il triangolo isoscele ABC, rettangolo in A; sia O il piede dell'altezza condotta da A. Sul lato AB si fissi il punto D e sul lato AC il punto E, in modo che sia . 1) Dimostrare che in questa ipotesi, al variare di D, è sempre . 2) Posto sia , calcolare la misura del perimetro del triangolo DOE.

    81. SOLUZIONE

  81. Nel triangolo ABC, l'angolo supera l'angolo di un angolo retto. 1) Dimostrare che è . 2) Si circoscrive al triangolo la circonferenza. Dimostrare che la tangente condotta per B ad essa è pure altezza del triangolo. 3) Detto H il piede di tale altezza, calcolare la misura del perimetro del triangolo, sapendo che 4) Provare che se r è la misura del raggio della circonferenza circoscritta, si ha .

    82. SOLUZIONE

  82. Nella semicirconferenza di centro 0 e diametro si inscrive il triangolo AGB, avente Per B si conduce la tangente alla semicirconferenza; la perpendicolare per O alla corda BC interseca tale tangente in P. 1) Calcolare la misura di AC e la misura della distanza OH di BC dal centro O. 2) Calcolare le misure di OP e BP.

    83. SOLUZIONE

  83. Si consideri il triangolo ABC e si descriva la circonferenza passante per A e tangente al lato BC nel punto D d'intersezíone del lato stesso con la bisettrice dell’angolo . Tale circonferenza intersechi ulteriormente AB in E ed AC in F. 1)Dimostrare che EF è parallela a BC. 2) Supposto che sia , calcolare le misure di AF ed AD.

    84. SOLUZIONE

  84. è data la circonferenza di diametro AB e centro 0. La semiretta di origine O perpendicolare ad AB interseca la circonferenza in P. Sulla semicirconferenza che non contiene P si fissi la corda CD. La corda PC intersechi AB in H e la corda PD intersechi AD in E. 1) Dimostrare che . 2) Dimostrare che il quadrilatero CDEH è inscrittibile. 3) Supposto che , calcolare .

    85. SOLUZIONE

  85. Dato il triangolo ABC, il cui lato , condurre per un punto N di AB la parallela ad AC, che interseca BC in M, in modo che il trapezio ANMC sia equivalente a tre quinti del triangolo dato. Poni .

    86. SOLUZIONE

  86. Nel trapezio ABCD la base AB misura 72 cm., la CD misura 48 cm. e l'altezza 45 cm. La corda EF, parallela alle basi, è tale che l'area del trapezio AEFB è di 1680 cm2. 1) Dimostrare che la corda MN parallela alle basi e che divide AD in due segmenti uguali è uguale alla semisomma delle basi. 2) Calcolare,l'area di EMNF.

    87. SOLUZIONE

  87. Il rombo ABCD ha l'area di 9600 cm2. e una diagonale uguale ai tre quarti dell'altra. 1) Calcolare la misura della distanza fra i suoi lati opposti. 2) Dai suoi vertici si conducano le parallele alle diagonali; di che natura è il quadrilatero che così si ottiene ? 3).Dai vertici di tale quadrilatero si conducano le parallele al lati del rombo stesso. Determinare la natura, la misura del perimetro e l'area del nuovo quadrilatero che così si ottiene.

    88. SOLUZIONE

  88. Le semicirconferenze di diametri sono tangenti internamente in A. La corda CD della prima misura 80 cm., mentre la corda BE della seconda misura 60 cm. 1) Provare,, che CD è parallela ad EB. 2) Calcolare la misura del perimetro e l'area del quadrilatero BCDE.

    89. SOLUZIONE

  89. Si consideri il rombo ABCD, avente l'angolo A ampio 60°. Sapendo che la sua area è 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) Su AD si fissi il punto P; la retta CP intersechi la retta DA in M. Dimostrare che si ha BC:DM = BP:BC. 3) Supposto calcolare

    90. SOLUZIONE

  90. Nel trapezio ABCD, di basi AB e DC, le diagonali s'intersecano in O. 1) Dimostrare che il triangolo BOC è equivalente al triangolo AOD. 2) Sapendo che l'area del triangolo AOB è 25 cm2. e quella del triangolo ODC è 16 cm2., calcolare l'area del trapezio.

    91. SOLUZIONE

  91. Nel trapezio ABCD, di basi AB e DC, le diagonali s'intersecano in O. Sapendo che l'area di AOB è di 3249 cm2. e quella di AOD è di 2451 cm2., calcolare l'area del trapezio.

    92. SOLUZIONE

  92. Si, consideri il rettangolo ABCD in cui ; si prolunghi DA del segmento e BA del segmento ; FC intersechi BD in P ed AB in N, mentre EC intersechi BD in G ed AD in M. 1) Dimostrare che è MD = BN. 2) Calcolare l'area del pentagono AMGPN. 3) Provare che AMGPN è equivalente alla somma dei triangoli DGC e PBC.

    93. SOLUZIONE

  93. Si consideri il triangolo, ABC, isoscele sulla base AC. Dal suo baricentro O si conducano le parallele al lati; esse intersechino la base in M ed N e i lati ordinatamente in D ed E. 1) Sapendo che l'area del triangolo MON è 12a2, calcolare l'area del triangolo ABC. 2) Provare che il quadrilatero ODBE è un rombo ed MEDN è un rettangolo. 3) Calcolare l’area di AMOE e di EODB.

    94. SOLUZIONE

  94. è dato il triangolo acutangolo ABC, isoscele sulla base AC, di area 192 cm2. Sapendo che il lato AB misura 20 cm., 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) Centro nel suo incentro O, si descriva la circonferenza di raggio OA ; essa intersechi ulteriormente la retta AB in D e la CB in C ed E. Calcolare la misura del perimetro del triangolo EBD. 3) Determinare la natura del quadrilatero AEDC. Per B si conduca la parallela ad AC; sia MN il segmento che i lati del quadrilatero staccano su di essa ; provare che è e calcolare la misura di tali segmenti. 4) Calcolare l'area del quadrilatero AEDC.

    95. SOLUZIONE

  95. Il triangolo ABC, rettangolo in A, ha l'area di 48 cm2. e . 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) Dal punto P dell'ipotenusa si conduca la perpendicolare ad essa; sapendo che il triangolo resta diviso da essa in due parti, delle quali la quadrangolare è tripla della triangolare, calcolare . 3) Detta M l'intersezione della perpendicolare considerata con CA, provare che A, B, P ed M appartengono alla stessa circonferenza e che AP è perpendicolare a BM.

    96. SOLUZIONE

  96. L'altezza AH, relativa all'ipotenusa del triangolo rettangolo ABC, divide il triangolo stesso in due parti le cui aree sono 108 cm2. e 192 cm2. 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) La circonferenza di diametro AH interseca ulteriormente i cateti in M ed N; calcolare l'area del rettangolo HMAN.

    97. SOLUZIONE

  97. Il triangolo acutangolo ABC, isoscele sulla base BC, ha l'area di 108 cm2. Sapendo che AC misura 15 cm., 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) Da un punto P dell'altezza AH si conduca la parallela a BC; essa divide il triangolo in un triangolo e in un trapezio. Sapendo che il rapporto fra l'arca del triangolo e quella del trapezio è 0,8, calcolare la misura della distanza di P dal lato AC.

    98. SOLUZIONE

  98. è dato il rettangolo ABCD avente l'area di 3072 cm2. Dal punto E d'intersezione delle sue diagonali si conducano le perpendicolari alle diagonali stesse. Calcolare l'area delle quattro parti in cui tali perpendicolari dividono il rettangolo, sapendo che un lato è quattro quinti di una diagonale.

    99. SOLUZIONE

  99. Dai vertici del rettangolo ABCD si conducono le parallele alle diagonali. 1) Di che natura è il quadrilatero che così si ottiene ? 2) Sapendo che l'area del rettangolo è di 480 cm2. e che una sua diagonale è tredici quinti di uno dei lati, calcolare la misura del perimetro e l'area del quadrilatero considerato.

    100. SOLUZIONE

  100. Il triangolo ABC, isoscele sulla base CB, ha l'area di 58800 cm2. Sapendo che CB:AB = 6:5, 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) Dal punto M del lato AB, che divide il lato stesso in due parti tali che , si conduce la perpendicolare, ad AB; essa interseca AC in N. Trovare la misura della corda NM.

    101. SOLUZIONE

  101. Si consideri il triangolo ABC, isoscele sulla base BC; sia la sua altezza. Sapendo che , 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) Si fissi su AB il punto M in modo che sia La perpendicolare in M ad AB intersechi AH in P ed AC in N. Provare che si ha . 3) Calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo ANP.

    102. SOLUZIONE

  102. L'area di un rombo è . Sapendo che un lato misura 2a, 1) Calcolare la misura delle diagonali del rombo e l'ampiezza dei suoi angoli. 2) Dal punto P della diagonale maggiore, che divide la stessa in parti una tripla dell'altra, si conduce la parallela ad un lato. Calcolare l'area e la misura del perimetro di ognuna delle due parti in cui resta diviso il rombo.

    103. SOLUZIONE

  103. Il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, ha l'area di 58800 cm2. Sapendo che l'altezza relativa ad AB sta a quella relativa a BC come 6:5, 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) Dal punto P dell'altezza AH relativa alla base BC si conduca la perpendicolare al lato AB; essa intersechi AB in M e la retta AC in N. Provare che si ha NP:AN = HB:AH. 3) Sapendo, che , calcolare la misura del perimetro e l'area dei triangoli APM ed NAP.

    104. SOLUZIONE

  104. è dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC. Esternamente ad esso si descrive la semicirconferenza di diametro BC ; da B si conduca la parallela ad AC, essa intersechi la semicirconferenza ulteriormente in P. Sapendo che il triangolo BPC ha l'area di , e che , calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo ABC.

    105. Soluzione

  105. Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, il perimetro misura Sapendo che la differenza fra la base e il lato obliquo misura , 1) Calcolare la sua area. 2) A che distanza da A si deve condurre la retta parallela a BC perché, detti M ed N i punti d'intersezione di essa con AB ed AC, il trapezio MNCB abbia l'area di 36 cm2.? 3) Detto H il piede dell'altezza relativa alla base, calcolare l'area e la misura del perimetro del quadrilatero ANHM.

    106. SOLUZIONE

  106. Il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, ha l'area di 240 cm2 e il baricentro che dista di 8 cm., dalla base BC. 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) Dal punto P della base, che divide la stessa in due parti tali che , si conduce la perpendicolare a BC; essa interseca AC in E e la retta BA in M. Dimostrare che il triangolo AME è isoscele e di esso trovare la misura del perimetro e l'area.

    107. SOLUZIONE

  107. Il rombo ABCD, di centro O, ha la diagonale BD uguale a tre decimi del perimetro e l'area di 216 cm2. 1) Calcolare la misura delle sue diagonali e quella del perimetro. 2) Per il punto M del lato AD si conduca la parallela a BD; essa intersechi AB in N. Per N si conduca la parallela ad AC; essa intersechi BC in P. Provare che i punti M, O e P sono allineati. 3) Posto sia , calcolare la misura del perimetro e l'area del pentagono MNPCD.

    108. Soluzione

  108. Il perimetro del trapezio ABCD misura 110 cm. Sapendo che la misura della base AB è uguale a 25 cm. e quella della base DC 50 cm., detto E il punto d'intersezione delle, rette DA e BC, calcolare: 1) La misura del perimetro dei triangoli AEB e DEC. 2) Il rapporto fra le aree degli stessi.

    109. Soluzione

  109. Il punto A dista dalla retta r di 24 cm. Centro in A, si descriva una circonferenza; essa intersechi la retta r in R in B e C. Il punto E divida il segmento AC in due parti uguali. Per E si conduca la perpendicolare ad r; essa intersechi la retta AB in M. 1) Dire di che natura è il triangolo AEM. 2) Sapendo che la sua area è di 60 cm2. e che , calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo ABC.

    110. SOLUZIONE

  110. Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, la distanza del baricentro O dalla base BC misura 6 cm. Sapendo che l'area del triangolo è di 432 cm2., calcolare la misura del perimetro e l'area delle tre parti in cui resta diviso il triangolo dalle perpendicolari condotte da O sui tre lati.

    111. Soluzione

  111. è dato l'angolo . Sul lato AM si portano i segmenti adiacenti e sul lato AN si portano i segmenti adiacenti I segmenti DC e BE s'intersechino in F. 1) Provare la similitudine dei triangoli DEF e BCF. 2) Provare che E, D, B e C appartengono alla stessa circonferenza. 3) Supposto che AD risulti perpendicolare a DC, calcolare le misure dei perimetri e l'area dei triangoli DFE e BFC.

    112. SOLUZIONE

  112. Nel rombo ABCD la diagonale AC misura . Una parallela ad AC interseca AB in M e BC in N, in modo che BMN è equivalente ad un settimo del pentagono MNCDA. 1) Trovare la misura di MN. 2) Sapendo che , calcolare l'area dei pentagono MNCDA e la misura del suo perimetro.

    113. SOLUZIONE

  113. L'area del triangolo ABC, isoscele sulla base BC, è 2700 a2. Detto H il piede dell'altezza relativa al lato AC, 1) Calcolare la misura del perimetro del triangolo, sapendo chi . 2) Una parallela ad AC interseca AB in M e BC in N; detti D ed E i piedi delle perpendicolari condotte da M ed N ad AC, calcolare l'area del rettangolo MNED, sapendo che il suo perimetro misura 147 a.

    114. SOLUZIONE

  114. L'area del rettangolo ABCD è 48 a2. Una parallela alla diagonale BD interseca AD in E ed AB in H. Sapendo che e che l'area del pentagono EHBCD è 42 a2, 1) Calcolare la misura del perimetro del pentagono. 2) Calcolare le misura della distanza della retta EH dalla diagonale BD.

    115. SOLUZIONE

  115. è dato il quadrilatero DBHO, rettangolo in D ed H. Le rette BD ed HO s'intersechino in A e DO e BH s'intersechino in C. Sapendo che , 1) Calcolare la misura del perimetro e l'area del quadrilatero. 2) Calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo ABC e dire di che natura è esso rispetto ai lati. Si consiglia di porre

    116. SOLUZIONE

  116. Il quadrilatero ABCD ha . 1) Provare che il triangolo ADC è isoscele. .2) Sapendo che è , calcolare l'area e la misura del perimetro del quadrilatero. 3) Le rette AB e DC s'intersechino in M. Calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo BMC.

    117. Soluzione

  117. I triangoli ABC ed A'B'C' sono tali AB è parallelo e concorde con A'B', BC è parallelo e concorde con B'C' ed AC è parallelo e concorde con A'C'. 1) Provare che essi sono simili. 2) Le bisettrici AM ed A'M' sono tali che ; sapendo che la somma delle aree dei due triangoli è 26 a2, calcolare l'area di ognuno di essi.

    118. SOLUZIONE

  118. è dato il rombo ABCD. Per il punto P del lato BC si conduca la parallela alla diagonale AC; essa intersechi AB in N; per N si conduca la parallela a BD; essa intersechi AD In M. 1) Provare che P ed M sono allineati col centro O del rombo. 2) Sapendo che le aree dei triangoli MAN ed NBP sono ordinatamente 12 a2 e 48 a2, calcolare l'area del rombo.

    119. SOLUZIONE

  119. Il triangolo acutangolo ABC, isoscele sulla base AC, ha l'area di 108 cm2. e il lato AB lungo 15 cm. 1) Calcolare la misura dei suo perimetro. 2) Dal baricentro O si conducono le corde DE ed HL ordinatamente parallele ai lati AB e BC, essendo D ed H gli estremi di esse appartenenti alla base del triangolo. Si domanda la natura dei poligoni DOH, ADOL, HOEC e LOEB. 3) Calcolare la misura dei perimetri e l'area dei quattro poligoni considerati. 4) Di che natura è il quadrilatero LEHD ?

    120. SOLUZIONE

  120. è dato l'angolo retto . Si fissi su OM il punto A, in modo che sia UA = 12 cm. Centro in A con raggi lunghi rispettivamente 15 cm., e 20 cm., s'intersechi il lato ON ordinatamente in B e C. 1) Calcolare la misura della distanza di B da C. 2) La perpendicolare per B ad AC intersechi AC in M. Provare che il quadrilatero BMAO è inscrittibile. 3) Calcolare l'area e la misura del perimetro del triangolo BMA.

    121. SOLUZIONE

  121. Sia l'altezza relativa alla base del triangolo isoscele ABC. Dal punto P di essa si conduca la parallela al lato AB; essa intersechi AC in N e BC in M. Dallo stesso P si conduca la parallela ad AC, che intersechi BC in D ed AB in E. 1) Dimostrare che EPNA è un rombo. 2) Sapendo che l'arca di EPNA è due noni dell'area di MPD, calcolare la misura della distanza di A da P. 3) Sapendo che , calcolare l'area del triangolo ABC, quella del rombo, quella di MPD e quella di BMPE.

    122. SOLUZIONE

  122. Le rette a e b sono parallele e la loro distanza misura 6 cm. Su a si consideri il segmento e su b il segmento concorde con MN. 1) Provare che, detto P il punto d'intersezione delle rette CM e DN, esso è sempre ad uguale distanza dalle rette stesse, distanza di cui si determinerà la misura, e questo qualunque sia la posizione dei segmenti MN e CD sulle rette considerate. 2) Detto E il punto d'intersezione delle rette MD ed NC, calcolare l'area del quadrilatero MENP.

    123. SOLUZIONE

  123. Nel trapezio ABCD, rettangolo in A e D, l'altezza AD è media proporzionale fra le basi AB e DC. 1) Dimostrare che, esso ha le diagonali perpendicolari. 2) Sapendo che , calcolare la sua area, la misura delle sue diagonali e quella del suo perimetro.

    124. Soluzione

  124. è data la circonferenza di diametro , Per B si conduce la corda BD. Scelto sull'arco , che non contiene D, il punto C, per esso si conduce la corda CE parallela a BD; essa interseca la corda AD in H. Sapendo che l'area del triangolo ABC è di 2400 cm2., mentre quella del triangolo AHE è di 96 cm2., calcolare. 1) la misura del perimetro del triangolo AHE; 2) l'area del triangolo AEB.

    125. SOLUZIONE

  125. è dato il triangolo ABC isoscele sulla base BC; sia AH l'altezza relativa a BC. Si prolunghi il lato BA del segmento Sapendo che l'area del triangolo è , 1) Calcolare la misura del suo perimetro e le ampiezze dei suoi angoli. 2) Provare che A, P, C ed H appartengono alla stessa circonferenza della quale si richiede la misura del raggio. 3) Calcolare . 4) Come sono fra loro i triangoli BAC ed HAP ? 5) Di che natura è il triangolo HPC ?

    126. SOLUZIONE

  126. Il trapezio ABCD ha gli angoli e , adiacenti alla base maggiore, ampi rispettivamente 45° e 30°. Sapendo che la base minore BC è la metà del lato CD e che l'area è 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) Calcolare la misura del perimetro, e l'area del triangolo BCE, essendo E il punto d'intersezione delle rette AB e CD.

    127. Soluzione

  127. è dato il segmento ; sia O il suo punto medio. Con diametri AB ed AO si descrivano due semicirconferenze dalla stessa banda rispetto alla retta AB. 1) Provare che tutte le corde condotte da A nella semicirconferenza di diametro AB sono dimezzate dalla semicirconferenza di diametro AO. 2) Centro in O, con raggio lungo 60 cm., s'intersechi la semicirconferenza minore in M. Si prolunghi AM fino ad incontrare la semicirconferenza maggiore in D. La corda per D parallela ad AB intersechi la semicirconferenza cui appartiene D in C. Calcolare la misura del perimetro e l'area del trapezio ABCD. 3) Quanto misura la distanza del punto E d'intersezione delle rette AD e BC dalla retta AB ?

    128. SOLUZIONE

  128. Sono dati i segmenti adiacenti Si descrivono, dalla stessa banda rispetto ad AC, le due semicirconferenze di diametri AC ed AB. Nella prima si tracci la corda e nella seconda la corda 1) Provare che A, E e D sono allineati e calcolare la misura del perimetro e l'area del quadrilatero BCDE. 2) La retta BE intersechi la prima semicirconferenza in M; il segmento MC intersechi ED in F. Verificare che si ha la relazione .

    129. SOLUZIONE

  129. Nel parallelogrammo ABCD, la corda MN è parallela alla diagonale maggiore AC lunga 15 cm. Sapendo che MN dista da D di un segmento lungo 2,8 cm., 1) Calcolare l'area e la misura del perimetro del pentagono MNCBA, sapendo che 2) Calcolare l'area,del triangolo MNB.

    130. Soluzione

  130. Il quadrilatero ABCD è decomposto dalla diagonale AC in due triangoli ABC ed ACD rettangoli in B e D. Sapendo che la diagonale DB è bisettrice di , 1) Provare che è 2) Indicato con M il punto d'intersezione di AC con BD, calcolare la misura del perimetro e l'area del quadrilatero, sapendo che 3) Calcolare l'area di un quadrilatero simile A'B'C'D' ,nel quale è

    131. SOLUZIONE

  131. Nel triangolo MBA è e le altezze relative al lati AB e BM stanno fra loro come 19:20. Sapendo che la somma delle altezze relative ad AB e BM misura 117 cm., 1) Calcolare l'area del triangolo. 2) Per A si conduce, dalla stessa banda di M, e perpendicolare ad AB. Provare che A, B, M ed O appartengono alla stessa circonferenza della quale si troverà la misura del diametro.

    132. SOLUZIONE

  132. Il rettangolo ABCD ha la diagonale e un lato doppio dell'altro. Sulla diagonale BD si fissi il punto P, tale che sia e per P si conduca la parallela alla diagonale AC. Calcolare la misura del perimetro e l'area delle due parti in cui tale parallela divide il rettangolo.

    133. Soluzione

  133. è dato il triangolo ABC. Sulla mediana AM è dato il punto P, tale che La retta BP intersechi AC in S; la parallela per S a BC Intersechi AM in V ed AB in R. 1) Provare che 2) Provare che R, P e C sono allineati. 3) Calcolare l'area del trapezio BCSR e quella del triangolo ARC, sapendo che 4) Calcolare le misure di AM, AD, AC e l'ampiezza dell'angolo .

    134. SOLUZIONE

  134. L'area dell'esagono regolare ABCDEF è ; 1) Calcolare la misura del suo perimetro. 2) Calcolare la lunghezza delle diagonali AD ed AC. 3) BF interseca AC, AD ed AE ordinatamente in M, P ed N. Provare che si ha :

    135. SOLUZIONE

  135. Nell'esagono regolare ABCDEF l'area del triangolo ACD è 1) Calcolare l'area dell'esagono e la misura del suo perimetro. 2) Le diagonali AC e BD s'intersecano in H. Provare che

    136. Soluzione

  136. Nel triangolo ABC è La bisettrice dell'angolo A intersechi BC in D, mentre quella dell'angolo esterno in A intersechi la retta BC in E. Si circoscriva al triangolo la circonferenza ; la tangente in A a tale circonferenza intersechi BE In F. 1) Provare che 2) Calcolare il rapporto R fra le aree dei triangoli AFB ed AFC.

    137. SOLUZIONE

  137. Nel trapezio ABCD è 1) Calcolare l'area del trapezio. 2) Dimostrare che è . 3) La bisettrice di DAB interseca BD in M, mentre la bisettrice di ABC interseca AC In N. Determinare la natura del quadrilatero AMNB, la misura del suo perimetro e l'area.

    138. Soluzione

  138. Nel pentagono convesso ABCDE è ; 1) Dimostrare che è . 2) Sapendo che la distanza di C da AE misura 9 cm., calcolare la misura del perimetro e l'area del pentagono. 3) AC interseca BD in P. Calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo BPC.

    139. Soluzione

  139. Il perimetro del triangolo ABC misura 84 cm. Sapendo che la bisettrice dell'angolo A divide DC in due parti lunghe rispettivamente 13 cm. e 15 cm., calcolare l'area del triangolo.

    140. SOLUZIONE

  140. è dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AC e rettangolo. Con diametro AC si descriva dalla banda opposta di B la semicirconferenza. 1) Provare che, comunque si scelga un punto P su tale semicirconferenza, detto M il punto di intersezione di PB con AC, si ha sempre . 2) Sapendo che calcolare ,l’area e la misura del perimetro del quadrilatero ABCP.

    141. SOLUZIONE

  141. Nel quadrilatero ABCD, rettangolo in B e D, le diagonali s'intersecano in M. Sapendo che è 1) Provare che si ha 2) Calcolare la misura del perimetro e l'area del quadrilatero.

    142. SOLUZIONE

  142. Il pentagono convesso ABCDE ha Sapendo che , 1) Calcolare la misura del perimetro e l'area del pentagono. 2) AC interseca BD in P; calcolare 3) Detto M il punto medio di BD ed N quello di AC, dimostrare che BCMN è un trapezio isoscele e di esso calcolare la misura del perimetro e l'area.

    143. SOLUZIONE

  143. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AB è quadruplo del cateto AC e l'area è 1600 m2. Calcolare la lunghezza del segmento di bisettrice dell'angolo retto compreso fra A e il punto M di intersezione con il lato opposto BC.

    144. Soluzione

  144. Il perimetro del triangolo ABC misura 245 cm. e i lati sono proporzionali a 21, l6, 12. Determinare le misure dei lati sapendo che è l'angolo maggiore. Calcolare le misure dei due segmenti in cui resta diviso il lato opposto dalla bisettrice dell'angolo .

    145. Soluzione

  145. è dato il triangolo NAM di perimetro lungo 224 cm. Sapendo che i suoi lati AM, MN ad AN sono ordinatamente proporzionali a 7, 24 e 25, 1) Verificare che è rettangolo e calcolare la sua area. 2) Si fissi su MN il punto P in modo che sia Provare che è , e calcolare l'area del triangolo APN.

    146. SOLUZIONE

  146. è data la circonferenza di diametro AB. Per il punto P di essa, diverso da A e B, si conducono la perpendicolare ad AB, sia H il suo piede, e la tangente alla circonferenza. Quest'ultima intersechi la retta del diametro AB, dalla parte di A, in C. 1) Dimostrare che si ha CA:AH = CP: PH. 2) Sapendo che e che , calcolare la misura del raggio della circonferenza, quella del perimetro e l'area del triangolo CAP. 3) Calcolare la misura della distanza di A da CP.

    147. SOLUZIONE

  147. I punti A, B, C e D dividono la circonferenza di centro O e raggio lungo r in quattro archi uguali. Detto E il punto medio dell'arco CD, si consideri il triangolo AEM, avente per vertici le intersezioni delle rette AE, EB ed AC; sia H il piede della sua altezza relativa al lato AM. 1) Provare che si ha . 2) Calcolare l'ampiezza degli angoli e l'area del triangolo AEM. 3) Provare che MD è perpendicolare ad AE.

    148. SOLUZIONE

  148. è data la circonferenza di centro O e diametro ; per il punto medio di AO si conduca la perpendicolare ad AD; essa intersechi la circonferenza in B e C. Per B si conduca la tangente alla circonferenza; essa intersechi la retta AD in E. 1) Provare che si ha . 2) Calcolare la misura del perimetro, le ampiezze degli angoli e l'area del triangolo ABE.

    149. SOLUZIONE

  149. Il trapezio ABCD ha le basi lunghe 1158 cm. e 675,5 cm. e l'altezza lunga 579 cm. Calcolare la lunghezza della corda MN parallela alle basi, che divide il trapezio in due parti equivalenti.

    150. SOLUZIONE

  150. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC misura 40 cm., mentre il cateto AB differisce di un segmento lungo 20 cm. dall’ipotenusa. 1) Calcolare la misura del perimetro e l'area del triangolo. 2) La bisettrice dell'angolo intersechi l'altezza AH, relativa all'ipotenusa, in D. Detto O l'incentro del triangolo ed E il suo circumcentro, calcolare la misura del perimetro e l'area del quadrilatero HDOE.

SOLUZIONE

prof.Franco Pelini (dai testi del prof. Pompeo Nisini)

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