Problemi Trigonometrici

1. Un trapezio isoscele ha le diagonali perpendicolari ai lati obliqui e la base maggiore che misura a. Determinare la misura degli angoli adiacenti alla base maggiore in modo che la somma della base minore e del lato obliquo misuri ka.

Soluzione

2. E’ dato l’angolo retto xOy ed il punto P della sua bisettrice per il quale OP =a condurre per P una trasversale in modo che dette A e B le sue intersezioni con i lati Ox e Oy si abbia

(1)

Soluzione

3. Sopra una semicirconferenza data il cui diametro AB = 2r, determinare un punto P in modo che detta M la proiezione ortogonale di esso sulla retta perpendicolare in B ad  AB, la somma dei 2 segmenti  AP e  PM abbia per misura un numero dato l. Discussione: si assume come incognita l’angolo BAP.

Soluzione

4. Un trapezio convesso è inscritto in una semicirconferenza il cui raggio misura r ed ha la base maggiore sul diametro. Determinare gli altri tre lati del trapezio sapendo che il rapporto tra la loro somma e la base maggiore vale k.

Soluzione

5. E’ data una semicirconferenza di diametro AB = 2r. Siano inoltre: s la retta tangente alla semicirconferenza nel punto A, e C il punto medio dell’arco AB. Determinate sull’arco BC un punto P, in modo che, dette H e K le sue proiezioni ortogonali rispettivamente sul diametro AB e sulla tangente s, sussista la relazione: 2PH + PK=m AB dove m è un numero positivo dato. Assumere come incognita la misura dell’angolo PAB e discutere.

Soluzione

6. In una circonferenza di raggio r, è inscritto il triangolo equilatero ABC. Determinare un punto P sull’arco ABnon contenente C, in modo che la differenze fra le aree dei triangoli PCA e PCB sia 1/k dell’area del triangolo ABC, posto k>0.

Soluzione

7. E’ data una semicirconferenza il cui diametro AB misura 2r,tracciare una corda AC in modo che,detto D l’estremo del raggio parallelo alla corda,si abbia AC + CD= 2kr essendo k un numero reale positivo.

Soluzione

8. Determinare i lati di un triangolo isoscele circoscritto ad una circonferenza di raggio r sapendo che la base misura 2kr essendo k un numero reale positivo.

Soluzione

9. Dato il triangolo equilatero ABC, il cui lato misura l, si determini sul lato BC un punto P in modo che, detta M l’intersezione della semiretta AP con la perpendicolare per B al lato AB, risulti: AB² + BM² + MC² + CA² = k l² con k numero positivo.

Soluzione

10. Sia d la misura della diagonale AC del rettangolo ABCD; determinare l’angolo che essa forma con la base AB in modo che valga la relazione 

11. Inserire in una circonferenza, il cui raggio misura r, un triangolo isoscele ottusangolo conoscendo la differenza k r fra il doppio della base e il triplo dell’altezza, essendo k reale e positivo.

12. Calcolare l’ampiezza 2x dell’angolo al vertice di un triangolo isoscele, dato il rapporto k tra il perimetro e l’altezza relativa alla base.

13. Data una semicirconferenza il cui diametro AB misura 2r, determinare su di essa un punto P in modo che, detta M la sua proiezione sul diametro si abbia: AB + MB  = K , essendo K un numero reale positivo.

14. È data la semicirconferenza di diametro AB = 2r e la semiretta tangente nel punto B e giacente nel medesimo semipiano della semicirconferenza rispetto alla retta AB. Determinare su questa tangente un punto P in modo che, detta Q l’ulteriore intersezione della retta AP con la semicirconferenza, si abbia: 2BQ + 3PQ = kBP con k numero positivo.

15. Dato un triangolo equilatero ABC di lato a, determinare sul lato AC un punto M in modo che la somma dei quadrati delle sue distanze dai vertici A e B abbia rapporto k con il quadrato del lato del triangolo. Discussione. Si assuma come incognita la misura dell’angolo ABM.

16. Sono dati una semicirconferenza di diametro AB = 2r e un punto C sul  prolungamento di BA in modo che AC = r. Determinare sulla semicirconferenza un punto M in modo che risulti: MA × MB = K MC²  essendo K reale e positivo

17. Due semirette a e b, aventi la stessa origine O, formano un angolo di 60°; sia A un punto dato sulla semiretta a e B la sua proiezione ortogonale su b . Nel medesimo piano, esternamente all’angolo convesso aOb e con l’origine in O, si conduca una terza semiretta c e sia C la proiezione ortogonale del punto A su di essa. Determinare l’angolo AOC = x in modo che si abbia: AC²+BC²=kAB², essendo k un numero positivo assegnato. Risolvere, discutere e determinare, in particolare, i valori di k  per i quali il triangolo ABC risulta, rispettivamente, equilatero e rettangolo in A.