La
serie di Taylor
(una
applicazione del teorema di Lagrange)
Consideriamo
la funzione
continua nell’intervallo chiuso
e indefinitamente derivabile, con derivate limitate, nell’intervallo aperto
(a,b). Se
allora possiamo sostituire ad
una somma di infinite funzioni elementari
detta serie di Taylor del tipo
1)
dove
è l’ordine di derivazione ed
.
Supponiamo
che il grafico della funzione si presenti come in figura (le considerazioni
che facciamo sarebbero simili in presenza di un altro grafico)
Dal
grafico si osserva che
dove
che è il differenziale di
relativo al punto
e all’incremento
che è l’errore che commetto quando
approssimo la curva con la tangente
Le
considerazioni che abbiamo fatto discendono dal teorema di Lagrange applicato all’intervallo
. Infatti
2)
con
Ora
essendo
un numero il cui valore dipende dall’intervallo
posso decidere di considerarlo come
somma di
(costante) e
variabile, data la continuità di
, per cui la 2) diventa
3)
4)
Che
tipo di funzione deve essere questo
?
Non
può essere una costante poiché, essendo
derivabile in
derivando la 4) si ottiene
da cui segue che
deve annullarsi per
.
La
funzione più semplice che soddisfa a questo requisito è
con
costante. Perciò, sostituendo nella
4) si ottiene
5)
Andiamo
adesso alla ricerca di questo
. Derivando la 5), e riapplicando il teorema di Lagrange, si ottiene
con
.
Sostituendo
nella 5) si ottiene infine
6)
dalla quale si ottiene che l’errore che commetto
quando approssimo la curva con la tangente è
, chiamato resto, che come si
vede dipende dall’ampiezza dell’ intervallo
e dalla derivata seconda (il pedice
2 di R corrisponde all’indice di derivazione).
Se
adesso operiamo come nella 3), si ha
7)
8)
e
derivando 2 volte la 8) si ottiene
9)
con
ed
infine la
10)
con
.
Se
ripetiamo la serie di passaggi un’altra volta otteniamo
11)
e
questo fa capire come evolverà lo sviluppo dei termini successivi e quindi
la 1).
Dal
punto di vista grafico si evidenziano molto bene queste considerazioni
Consideriamo
la funzione
e il suo corrispondente sviluppo in
serie di Taylor
dove abbiamo posto
.
Come
si può notare, se ci interessa un intervallo abbastanza limitato, per esempio,
, anche lo sviluppo per n=5
approssima molto bene la funzione.
Volendo
calcolare
se
si usa lo sviluppo per n=5 si ha
per
n=10 si ha
Altri esempi notevoli.
Se
si considerano gli sviluppi in serie di
e
per
, si ha
.
Sostituendo
nello sviluppo di
al posto di x si ottiene
identità
di somma importanza detta formula di Eulero e ci mostra che, nel campo
completo dei numeri ( cioè dei numeri complessi),
e
sono intimamente legati alla funzione
esponenziale.
Considerazioni
didattiche:
1)
l’uso di una calcolatrice
scientifica permette di avere i valori delle funzioni goniometriche, iperboliche, logaritmi, potenze
di qualsiasi base e qualsiasi esponente e i valori che appaiono sul display
rimangono un mistero per lo studente che ha un minimo di curiosità culturale.
Lo sviluppo in serie permette di soddisfare questa curiosità.
2)
L’esempio fatto non
è casuale. Nel calcolo integrale nella gran parte dei casi non esiste la primitiva
della funzione integranda in termini di funzioni elementari, e pertanto,
approssimare la funzione con il suo sviluppo in serie, offre, ove possibile,
una stima dell’ area che si sta cercando.
Unità
didattica per la 5ª classe del liceo scientifico
Base
di conoscenza:
·
Teorema di Lagrange
·
Concetti di derivata
e differenziale di una funzione
·
Algebra delle derivate
·
Concetto di integrale
definito
·
Calcolo delle primitive